Примеры решения задач по электротехнике, физике

Математика
Физика
  • Линейные электрические цепи постоянного тока
  • Магнитная индукция
  • Контрольная работа № 4
  • Волновая оптика
  • Фотоны. Энергия, импульс световых квантов.
  • Статистическая физика
  • Элементы кристаллографии
  • Начертательная геометрия
    История ландшафтного дизайна
    Английские цветочные сады
    В эпоху Елизаветы в ландшафтных
    садах
    Под влиянием Франции
    английские садоводы
    Знаменитая английская
    школа пейзажистов

     

    Пример 12. Определить число п узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.

    Решение. Выделим элементарную ячейку в кубической решетке (рис. 1) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (находящиеся на гранях куба в точке пересечения диагоналей).

    Узел А принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А входит с долей 1/8. Узел В входит одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов

    типа А в ячейке равно восьми, Рис. 1

    а число узлов типа В равно шести, т. е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной решетке,

    n = (1/8)×8 + (1/2)×6 = 1 + 3 = 4 узла.

    Так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома.

    Пример 13. Определить параметр а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла кальция (решетка гранецентрированная кубической сингонии). Плотность r кристалла кальция равна 1,55×103 кг/м3.

    Решение. Параметр а кубической решетки связан с объемом элементарной ячейки соотношением V = а3. С другой стороны, объем элементарной ячейки равен отношению молярного объема к числу элементарных ячеек в одном моле кристалла: V = Vm/Zm. Приравняв правые части приведенных выражений для V найдем

    a3 = Vm/Zm (1)

    Молярный объем кальция Vm = M/r, где r — плотность кальция; М — его молярная масса. Число элементарных ячеек в одном моле

    Zm =NA/n,

    где п — число атомов, приходящихся на одну ячейку. Подставив в формулу (1) приведенные выражения для Vm и Zm, получим

    Подпись: Рис. 2a3 = nM/(rNA)

     

    Отсюда

      (2)

    Подставим значения величин п, М, r и NA в формулу (2), учитывая, что п = 4 . Произведя вычисления, найдем

    а =556 пм.

    Расстояние d между ближайшими соседними атомами находится из простых геометрических соображений, ясных из рис. 2:

    .

    Подставив в это выражение найденное ранее значение а, получим d=393 пм.

    Пример 14. Кусок металла объёма V=20 см³ находится при температуре Т=0. Определить число ΔN свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального импульса рmax не более чем на 0,1 рmax. Энергия Ферми eƒ=5эВ.

    Решение. Для того чтобы установить распределение свободных электронов в металле по импульсам, воспользуемся распределением Ферми для свободных электронов при T=0:

      (1)

     Так как dn(e) есть число электронов в единице объема, энергии которых заключены в интервале значений от e до e+de (e<eƒ), то оно должно быть равно числу электронов dn(p) в единице объема, заключённых в интервале значений импульса от р до p+dp, т. е.

    dn(р)=dn(e).  (2)

    При этом должно соблюдаться следующее условие. Данной энергии e соответствует определенный импульс р(eƒ=p²(2m)) и интервалу энергий de отвечает соответствующий ему интервал импульсов

    .

    Заметив, что e1/2=p/(2m)1/2, подставим в правую часть равенства (2) вместо dn(e) выражение (1) с заменой e на р и

    de на dp в соответствии с полученными соотношениями, т. е.

    .

    После сокращений получим искомое распределение свободных электронов в металле по импульсам при Т=0:

    .

    Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены в интервале от рmax –0,1 рmax до рmax, найдем интегрированием в соответствующих пределах:

    ,  или .

    Учитывая, что максимальный импульс рmax и максимальная энергия e электронов и металле (при Т=0) связаны соотношением р²max=2meƒ, найдём искомое число ΔN свободных электронов в металле:

    , или ,

    Подставив значения величин p, m, eƒ, ћ и V и произведя вычисления (5эВ=8·10-19Дж), получим ΔN=2,9·1023 электронов.

    История ландшафтного дизайна.