Лекции и примеры решения задач по математике

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Ряды Фурье, ряды Тейлора и Маклорена
Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

Признак Даламбера

Теорема. Если при  предел отношения  -го члена ряда

 

к  -му существует, конечен и равен ,то есть

, (29)

то при  ряд сходится, при  расходится, а при  вопрос о сходимости ряда остается открытым и нужно применить другой признак.

.Доказательство. ► Пусть предел (29) существует, конечен и . Покажем, что ряд сходится. Из определения предела следует, что для любого положительного числа  найдется такой номер , что для всех   больших  будет выполняться неравенство

или

 

Выберем  настолько малым, чтобы было

.

Тогда для всех

или:

 

Рассмотрим теперь два ряда:

,

Второй из них представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем  и, следовательно, сходится. Но тогда, поскольку члены первого ряда меньше соответствующих членов второго ряда, по признаку сравнения он тоже сходится. Так как этот ряд получен из исходного ряда путем отбрасывания его первых  членов, что не влияет на сходимость ряда, то исходный ряд тоже сходится.

Пусть теперь то есть . Но тогда, для достаточно больших , , а это означает, что общий член ряда не стремится к нулю при , то есть для этого ряда не выполняется необходимый признак сходимости и такой ряд, следовательно, не может быть сходящимся. Теорема доказана. ◄

Пример 8. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем:

,

Вычисляя предел (29), находим:

при этом была использована эквивалентность бесконечно малых: . Так как предел меньше единицы, то рассматриваемый ряд сходится.

Пример 9. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим признак Даламбера. Имеем:

,

и предел (29) равен

.

(было использовано свойство факториала ). Так как предел меньше единицы, то данный ряд сходится.

2.4 Радикальный признак Коши

Теорема. Если для знакоположительного ряда 

 

существует и конечен предел

, (30)

то при  ряд сходится, при  расходится, а при  вопрос о сходимости ряда остается открытым и нужно применить другой признак.

.Доказательство. ► Пусть предел (30) существует, конечен и . Покажем, что ряд сходится. Из определения предела следует, что для любого положительного числа  найдется такой номер , что для всех   больших  будет выполняться неравенство

или

Выберем  настолько малым, чтобы было . Тогда для всех   будет справедливо неравенство , или  Рассмотрим два ряда

Второй из них представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем  и, следовательно, сходится. Но тогда, поскольку члены первого ряда меньше соответствующих членов второго ряда, то, по признаку сравнения, он тоже сходится. Так как этот ряд получен из исходного ряда путем отбрасывания его первых  членов, что не влияет на сходимость ряда, то исходный ряд тоже сходится.

Пусть теперь , то есть . Но тогда, начиная с некоторого номера , будет иметь место неравенство , или . Последнее означает, что общий член ряда не стремится к нулю при , то есть для этого ряда не выполняется необходимый признак сходимости и такой ряд, следовательно, не может быть сходящимся. Теорема доказана. ◄

Пример 9. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся радикальным признаком Коши:

.

Так как предел меньше единицы, то ряд сходится. При решении примера был использован второй замечательный предел , где  бесконечно малая при .

2.5 Интегральный признак Коши

Теорема. Пусть члены знакоположительного ряда 

 (31)

являются значениями непрерывной неотрицательной и монотонно убывающей на полуинтервале  функции  при целочисленных значениях ее аргумента, т. е.

тогда: если сходится несобственный интеграл  , то сходится и ряд, если несобственный интеграл  расходится, то расходится и ряд.

.Доказательство. ► В соответствии с условием теоремы рассматриваемый ряд может быть представлен в виде 

.

Пусть  какая-либо первообразная функции , и так как , то   возрастает с ростом  и при   имеет предел, конечный или бесконечный. Введем в рассмотрение числовую последовательность . Тогда, в первом случае последовательность сходится, т. е.: , где  - конечно, а значит, сходится и ряд

= , (32)

поскольку его сходимость эквивалентна существованию предела варианты . Во втором случае последовательность расходится и расходится ряд (32). С этим рядом и сравним рассматриваемый ряд.

По формуле конечных приращений Лагранжа, общий член ряда (32) может быть представлен в виде

, (33)

так что вследствие монотонности функции  имеем:

,

и тогда, в случае сходимости интеграла сходится ряд (32), а значит, по признаку сравнения, сходится и ряд (31), так как его общий член  меньше общего члена сходящегося ряда (32). Если же интеграл расходится, то расходится ряд (32), а значит и ряд (31) так как его общий член  больше общего члена расходящегося ряда (32). Теорема доказана. ◄

Пример 10. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда .

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Введем функцию   и рассмотрим несобственный интеграл  при . Имеем:

то есть при  интеграл расходится, а при сходится. Если , то

то есть интеграл тоже расходится. Таким образом, в соответствии с интегральным признаком Коши, обобщенный гармонический ряд сходится при  и расходится при .

Пример 11. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся вновь интегральным признаком Коши. Полагая , находим:

и так как интеграл расходится, то расходится и ряд.

Математика примеры решения задач курсовой работы