Лекции и примеры решения задач по математике

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Ряды Фурье, ряды Тейлора и Маклорена
Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Курс лекций

Лекция 1.

Числовые ряды

Понятие числового ряда. Сходимость и сумма ряда

Пусть числа

, (1)

образуют последовательность.

Определение. Числовым рядом называется сумма членов числовой последовательности, т. е.:

, (2)

 - общий член ряда.

Подчеркнем, что как следует из определения, ряд представляет собой сумму бесконечного числа слагаемых. Как будет видно из дальнейшего, следствием именно этого факта являются некоторые особенности, принципиально отличающие ряды от конечных сумм. Ряд считается заданным, если общий член известен как функция его номера. Приведем примеры числовых рядов:

1).  ,

2). ,

3). .

В первых двух примерах общий член ряда известен. Именно, в первом примере

,

а во втором

.

В третьем же примере общая закономерность, которой подчиняются члены ряда устанавливается тремя первыми членами и чтобы ряд можно было считать заданным, следует проанализировать их и установить функциональную зависимость общего члена ряда от его номера . Замечаем, что в числителях стоят произведения нечетных чисел от единицы до 5 в первом члене, до 7 во втором и до 9 в третьем. Все эти числа могут быть воспроизведены выражением  при, соответственно,  и . То есть, числитель в общем члене может быть представлен выражением . В знаменателе, как нетрудно заметить, первый сомножитель отличается от остальных, представляющих собой последовательную запись четных чисел. Установление закономерности, связывающей числа в знаменателе с номером члена, несложно и находим, что знаменатель может быть описан выражением , так что общий член этого ряда принимает вид

.

Запись этой формулы можно сделать более компактной, если воспользоваться двойным факториалом. Именно, согласно определению двойного факториала  и , так что

и ряд может быть записан в виде

.

 Определение. Сумма  первых членов ряда называется -ой частичной суммой ряда, т.е.:

   (3)

Выпишем частичные суммы ряда (1):

 (4)

.

Частичные суммы образуют последовательность, при этом, очевидно, чем больше , тем ближе -ая частичная сумма ряда   к сумме ряда . Поэтому естественно следующее определение суммы ряда:

 Определение. Суммой числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, т. е.

 (5)

Если указанный предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится и имеет сумму .

Если предел бесконечен или не существует, то говорят, что ряд расходится.

Расходящийся ряд, таким образом, либо имеет бесконечную сумму, либо вовсе не имеет суммы.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Показать, что ряд  сходится, и найти его сумму.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (5), следует представить -ю частичную сумму  в компактной форме. С этой целью преобразуем общий член ряда к виду:

,

после чего для -ой частичной суммы получаем

.

Нетрудно видеть, что все члены в скобках, за исключением трех первых положительных и трех последних отрицательных, взаимно уничтожаются, так что выражение для -ой частичной суммы  принимает вид

,

используя его в (5), находим

,

откуда следует, что рассматриваемый ряд сходится и имеет сумму .

Пример 2.  Исследовать сходимость арифметической прогрессии .

Решение. Найдем -ю частичную сумму ряда:

,

то есть

Используя ее в (5), получаем

.

Так как предел бесконечен и не зависит ни от первого члена прогрессии , ни от разности , то отсюда следует, что арифметическая прогрессия всегда расходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Выпишем частичные суммы четного и нечетного числа членов ряда:

,

.

Так как , а , то предел последовательности частичных сумм ряда не существует, то есть ряд суммы не имеет и, следовательно, расходится.

5.

Математика примеры решения задач курсовой работы