Лекции и примеры решения задач по математике

Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Интегральную формулу Фурье можно записать в виде

 . (23)

Это есть комплексная форма интеграла Фурье. Введем функцию

 , (24) то согласно (23) получим

 . (25)

Переход от  к  по формуле (24) называется прямым преобразованием Фурье. Восстановление  по  с помощью формулы (25) называется обратным преобразованием Фурье. Функция  называется спектральной функцией или спектральной плотностью сигнала . Функция  называется амплитудным спектром, функция  называется фазовым спектром функции .

 и  - спектральные характеристики сигнала   соответственно амплитудная и фазовая  - четная, а  - нечетная функция.

.

Рассматривая интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье при , можно заметить, что спектральные линии в пределе сливаются. Поэтому амплитудный спектр непериодической функции будет сплошным и его изображают непрерывной линией.

Формулы (24) и (25) показывают, что если известна спектральная плотность сигнала , то можно восстановить сигнал , и, наоборот, по известному сигналу  можно определить его спектральные характеристики. Таким образом, описания процессов временными функциями (сигналами) и спектральными функциями равноправны. При решении конкретных задач, связанных с распространением сигналов, используют ту или иную форму представления, исходя из простоты математического анализа.

Рассмотрим важные для практики примеры нахождения спектральной плотности и спектральных характеристик непериодических сигналов.

Единичная функция  изображается графиком, как показано на рис. 16.

определяется следующим образом: . Если попытаться вычислить спектральную плотность единичной функции “напрямую”, возникает затруднение, связанной с тем, что эта функция не является абсолютно интегрируемой.

 

В этом случае умножают заданную функцию на затухающую экспоненту . Вычислив спектральную плотность функции , искомую спектральную плотность находят предельным переходом при .

 .

Таким образом, амплитудная характеристика единичной функции  изображается графиком, как показано на рис. 17.

 

 

w 

 Рис. 17 

Прямоугольный импульс.

Сигнал, определяемый выражением:

находит широкое распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Прямоугольный импульс высотой , длительностью  изображен на рис. 18.

 

 h 

 -t/2 0 t/2

 Рис. 18

 Применяя формулу (24), находим спектральную плотность этого импульса.

.

 


 Далее на рис. 19 представлены графики спектральной плотности, амплитудного и фазового спектров прямоугольного импульса. На графике фазового спектра каждая перемена знака  учитывается приращением фазы на .

 

  

   

 2p

    p 

  w w -p    w

 Рис. 19

3. Треугольный импульс.

 

  

 h

 -t/2  0 t/2 t

 Рис. 20

 График функции представлен на рис. 20.

 Решение. Вычисляем спектральную плотность .

 

 .

 График спектральной плотности  изображен на рис. 21.

 

 

 

 

 0    

 Рис. 21

4. Колоколообразный импульс.

 , . Этот импульс совпадает по форме с графиком нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей и называется также гауссовским импульсом. Колоколообразный импульс и его спектральная плотность изображены на рис. 22.

 

 

 0 t w

 Рис. 22

 Будем находить спектральную плотность данного импульса. По формуле (24) имеем

 .

 Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы

  ,

где величина d определяется из условия 

 

 , т.е. .

Таким образом, выражение для  приводится к виду

 

 .

Перейдем к новой переменной , получим

 .

Так как , то окончательно , где ,

.

 Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно совершить замену t на  и наоборот.

5. Волновой цуг. Так называют функцию, определяемую равенством:

 

 

  t

 Рис. 23

График функции представлен на рис. 23.

Рассматриваемый сигнал играет в теории связи большую роль. Находим его спектральную плотность.

.

Математика примеры решения задач курсовой работы