Лекции и примеры решения задач по математике

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Ряды Фурье, ряды Тейлора и Маклорена
Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ.

РЯДЫ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Пусть  – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье. Но если функция задана на конечном интервале , то для нее можно построить ряд Фурье, который имел бы ее своей суммой на этом интервале.

Для этого рассматривают вспомогательную функцию  периода , значения которой на интервале  совпадают со значениями функции  (рис. 6).

 


 y четное y 

   

 

 

 производная 

 -3 -2 -  2 3 x х

 

 нечетное 

 Рис. 6 Рис. 7

Если для функции  выполняется условие теоремы Дирихле, то ее можно представить соответствующим рядом Фурье. Этот ряд на интервале   во всех точках непрерывности функции будет иметь своей суммой .

Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только в интервале . В этом случае мы можем сначала продолжить по какому-либо закону фукнцию на интервал , а затем продолжить на всю числовую прямую периодически с периодом . Удобнее всего продолжить функцию на интервал  четным или нечетным образом (рис. 7). В первом случае ряд Фурье будет содержать только косинусы и свободный член. Во втором случае ряд Фурье будет содержать только синусы.

Рассмотрим примеры разложения в ряд Фурье непериодической функции.

1. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке  уравнением .

Решение. Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количеством способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта разложения.

 y

 1/2 

 

 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8  x

 Рис. 8

А. Доопределим функцию  на отрезке  четным образом (рис. 8). 

Имеем .

;

 .

Еще раз интегрируем по частям:

.

Итак,

.

Б. Доопределим функцию  на отрезке  нечетным образом (рис. 9).

 y

 1/2 

 

 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x

 

 Рис. 9

 0 

.

Итак, .

.

2. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением .

Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.

А. Будем полагать, что функция задана на отрезке длиной, равной периоду , и периодически продолжить ее на всю числовую ось с этим периодом

(рис. 10).

 y-2p  -p 0 p  2p х

 Рис. 10 

Вычисляем коэффициенты Фурье полученной функции по общим формулам (9), (10), полагая .

;

;

;

.

Б. Доопределим функцию  на отрезке  четным образом и периодически на всю числовую ось. В данном случае . Вычисляем коэффициенты Фурье полученной функции по формулам (5).

График функции представлен на рис. 11.

 y

 -p p  x

 

 Рис. 11

 

 

 0

 .

Итак, .

Заметим, что ряды Фурье, полученные в пп. А и Б, сходятся на отрезке  к одной и той же формуле , во втором случае вычислений нужно проводить меньше, чем в первом.

Во многих случаях удобно использовать комплексную формулу ряда Фурье, которую можно получить с помощью формул Эйлера:

.

Для функций с произвольным периодом  ряд Фурье в комплексной форме имеет вид

 , (15)

где

 . (16)

3. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением .

Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье. По формуле (16)

.

По формулам Эйлера

.

Следовательно, ,

.

В интервале  ряд представляет функцию , а в точках  его сумма равна .

Заметим, что полученный ряд в комплексной форме можно преобразовать к обычной тригонометрической форме ряда Фурье, для этого следует объединить слагаемые с индексами  и  и заменить в результате по формулам Эйлера показательные функции тригонометрическими:

 

при .

Следовательно,

.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Разложить  в интервале  по синусам кратных дуг функцию

 .

Ответ: .

2. Разложить в интервале  по косинусам кратных дуг функцию

Ответ: .

Разложить в интервале  в ряд Фурье функцию .

Ответ: .

4. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на  интервале  уравнением

Ответ: .

5. Разложить в интервале  в неполный ряд Фурье, содержащий только косинусы или только синусы, функцию

Ответ: а) ;

 

 б)

6. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию  при , .

Ответ: .

7. Разложить функцию  в интервале  в неполный ряд Фурье, содержащий только синусы.

Ответ:

Математика примеры решения задач курсовой работы