Лекции и примеры решения задач по математике

Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале   формулой

.

 Построим график функции (рис. 3).

 y

 1

 -3p  -2p -p p 2p  3p x 

 Рис. 3

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Применяя формулы (2) и (3), находим коэффициенты Фурье

,

,

.

Разложение в ряд Фурье  имеет вид

.

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале

 формулой

 Построим график функции (рис. 4).

 


 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

 Рис. 4

Решение. Пользуясь формулами (9) и (10), полагая  и разбивая интервал интегрирования точкой  на две части, поскольку в каждой из них функция задана различными формулами, получим

 

.

При а – четном  и , при n – нечетном  и .

При n=0

,

 

 0

.

Искомое разложение данной функции имеет вид

.

Оно справедливо во всей области определения данной функции: в интервале  сумма ряда , в интервале  - . В точке разрыва ,

.

4. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале   формулой  (рис. 5).

 у

 1

 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 х 

 

  Рис. 5

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Применяя формулу (12), (функция  - четная), полагая , получим ,

.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале   уравнением .

Ответ:

 .

2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале   формулой .

Ответ: .

3. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале   формулой .

Ответ: .

4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию  с периодом , заданную на интервале   уравнением .

Ответ: .

5. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

 f(x+2)=f(x).

Ответ: .

6. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

 f(x+6)=f(x).

Ответ: .

7. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Ответ: .

Математика примеры решения задач курсовой работы