Лекции и примеры решения задач по математике

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Ряды Фурье, ряды Тейлора и Маклорена
Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

Лекция 10.

Интеграл и преобразование Фурье

Интеграл Фурье

Пусть функция  определена в бесконечном интервале   и абсолютно интегрируема на нем, т.е. существует и конечен интеграл

. (50)

Пусть также на любом конечном интервале  функция  удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и, следовательно, разложима на нем в ряд Фурье, т.е., при любом конечном справедливы формулы (39) – (42). Подставляя в ряд (39) вместо коэффициентов правые части формул (40) – (42), получим:

 (51)

Перепишем эту формулу в следующем виде

 (52)

Воспользовавшись, далее, формулой

, (53)

получим:

 (54)

Прежде чем переходить к пределу , введем обозначения

, (55)

и перепишем формулу (54) в виде

 (56)

 

При  первое слагаемое в (56) стремится к нулю. Действительно,

Второе слагаемое представляет собой интегральную сумму для функции

Поэтому, переходя к пределу , вместо ряда получим интеграл

, (57)

называемый интегралом Фурье. Отметим, что равенство (57) имеет место во всех точках непрерывности функции .В точках разрыва интеграл Фурье равен полусумме предельных значений функции слева и справа, то есть

. (58)

 

Преобразуем интеграл в (57), вновь воспользовавшись формулой (53):

 (59)

Вводя обозначения

,

 (60)

вместо (59) получим

. (61)

Совершенно очевидна аналогия с тригонометрическим рядом – параметр , пробегавший значения чисел натурального ряда, заменен на непрерывно меняющийся параметр , а бесконечный ряд заменен интегралом. Коэффициенты  и по своей структуре также напоминают коэффициенты Фурье. Определяющие их интегралы существуют, так как из абсолютной интегрируемости функции

 на всей числовой оси следует и абсолютная интегрируемость функций  и .

 Рассмотрим частные случаи формулы (59).

1). Пусть  - четная функция. Тогда  - четная, а  - нечетная функции, следовательно

, (62)

. (63)

Интеграл Фурье для четной функции, таким образом, принимает вид

. (64)

2). Если функция  нечетная, то  четная, а  нечетная функции и в этом случае

, (65)

 (66)

и интеграл Фурье имеет вид

. (67)

Итак, четные функции разлагаются в ряд Фурье по косинусам, а нечетные по синусам.

10.2 Преобразование Фурье

Формулы (64) и (67) могут быть представлены в симметричной форме. Именно, вместо формулы (64) можно записать

, 68)

. (69)

Эти формулы называются, соответственно, прямым и обратным косинус - преобразованием Фурье. Заметим, что каждую из этих формул можно рассматривать как интегральное уравнение относительно функции, стоящей под знаком интеграла. При этом вторая формула дает решение этого уравнения.

Аналогично, формула (67) эквивалентна двум формулам

, (70)

, (71)

которые называются, соответственно, прямым и обратным синус - преобразованием Фурье.

Отметим, что синус и косинус преобразования могут применяться лишь к функциям , заданным на положительной полуоси, абсолютно интегрируемым на ней и удовлетворяющим на любом ее конечном интервале условиям Дирихле.

Пример . Для функции  найти косинус и синус преобразования Фурье.

Решение. Задача решается непосредственно по формулам (68) и (70). При этом предполагается, что в область отрицательных значений аргумента функция продолжается в первом случае четным а во втором нечетным образом. Согласно формуле (68):

Вычислим интеграл, применяя метод интегрирования по частям:

Итак, мы получили:, отсюда следует , так что окончательно

.

Синус преобразование находится аналогично и имеет вид:

.

Математика примеры решения задач курсовой работы