Лекции и примеры решения задач по математике

Ряды Фурье, ряды Тейлора и Маклорена
Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

Пример 3. Функцию , разложить в ряд Фурье.

Решение. Данная функция нечетная и разлагается в ряд Фурье по синусам. Поэтому достаточно вычислить коэффициенты  по формуле

(42), которая может быть (вследствие нечетности функции) переписана в виде

. (43)

Находим (учитывая, что ):

.

При выводе были использованы формулы:

,

,

.

Подставляя найденные коэффициенты в ряд (39) (при  и всех равных нулю), получаем искомый ряд:

.▲

9.3 Разложение в ряды Фурье непериодических функций

Пусть функция  определена на интервале , кусочно-монотонна и ограничена на нем. Покажем, что эту функцию в точках ее непрерывности можно представить как сумму некоторого ряда Фурье. С этой целью рассмотрим периодическую с периодом  функцию , совпадающую с функцией   во всех точках интервала . Функция , очевидно, удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье. В соответствии с теоремой, сумма ряда будет совпадать со значениями функции  в точках ее непрерывности. Так как в интервале  функция  совпадает с функцией , то в этом интервале ряд Фурье будет представлять и функцию  в точках ее непрерывности.

Рассмотрим важный частный случай, когда функция  определена на интервале . Продолжив ее некоторым образом в интервал , но так, чтобы на интервале она удовлетворяла условиям теоремы Дирихле, ее можно будет разложить в ряд Фурье. Поскольку продолжение в интервал  может быть выполнено

различными способами, то и получаемые ряды будут различны, но, что существенно, сумма каждого ряда будет представлять функцию  в точках ее непрерывности. В частности, функцию  можно продолжить в интервал  так, чтобы на интервале  она была четной или нечетной. В первом случае ряд Фурье будет содержать только косинусы, а во втором только синусы.

Пример 4. Функцию , , разложить в ряд Фурье по синусам.

Решение. Чтобы получить ряд Фурье по синусам, функцию следует продолжить в интервал  нечетным образом и распространить на всю числовую ось как периодическую с периодом . График такой функции показан на Рис. 4.


Вычисляя коэффициенты  по формуле (29), получаем:

Ряд Фурье, таким образом, принимает вид:

. ▲

9.4 Некоторые приложения рядов Фурье

Смысл представления функций рядами Фурье, Тейлора и т.д., с точки зрения практических приложений состоит в том, что после обрывания ряда получающаяся конечная сумма дает приближенное выражение разлагаемой функции, причем степень приближения можно неограниченно улучшать, оставляя все большее число членов. В частности, ес-

ли некоторую функцию представить тригонометрическим многочленом порядка , то, есть в виде

, (44)

то существует теорема, согласно которой среди всех тригонометрических многочленов порядка , наименьшее среднеквадратическое уклонение от функции  имеет многочлен, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье функции . Этот факт позволяет эффективно использовать тригонометрические многочлены, получающиеся после обрывания рядов Фурье, для приближенного представления функций. В качестве примера, на Рис. 5 показаны аппроксимирующие кривые, рассчитанные по формуле

, (45)

полученной после обрывания ряда Фурье функции  (см. Пример 3.) при сохранении в выражении в скобках одного (кривая 1), двух (кривая 2) и трех (кривая 3) слагаемых. Другой пример аппроксимации тригонометрическим многочленом более сложной функции  

(см Пример 4 ) показан на Рис. 6. Расчеты проводились по формуле

, (46)

при сохранении в сумме одного (кривая 1), трех (кривая 2) и двадцати (кривая 3) слагаемых.

Здесь, как видно, даже сохранение двадцати слагаемых не обеспечивает удовлетворительного воспроизведения кривой. Тем не менее, степень приближения неуклонно возрастает, так что учет большего числа слагаемых позволит достичь, в принципе, любой желаемой точности.

Важным фактором, стимулирующим изучение рядов Фурье, служит также наличие методов и приборов, позволяющих строить тригонометрические многочлены на основе числовой или графической информации, получаемой при проведении экспериментальных исследований. В связи с этим, они находят широкое применение в электротехнике и радиотехнике, при изучении колебательных и различных шумовых вибрационных процессов в узлах машин и механизмов и т.д..

Представляет также большой интерес использование рядов Фурье для нахождения сумм числовых рядов. Рассмотрим примеры.

Пример 5. Функцию разложить в ряд Фурье на отрезке   и используя полученное разложение найти суммы рядов  и .

Решение. Функция  четная и разлагается в ряд Фурье по косинусам. Коэффициенты  и , соответственно равны:]

 

Искомый ряд Фурье, таким образом, равен

 (47)

Полагая здесь , находим:

. (48)

Аналогично, полагая , получаем

. (49)

Математика примеры решения задач курсовой работы