Лекции и примеры решения задач по математике

Ряды Фурье, ряды Тейлора и Маклорена
Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

Лекция 8.

Ряды Фурье.

 Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Определение 1. Функциональный ряд вида

(1)

называется тригонометрическим рядом.

  Если ряд сходится, то его сумма - периодическая функция с периодом  (в силу периодичности функций  и ).

 Пусть  - сумма ряда то есть

. (2)

Выразим коэффициенты ряда через функцию , предполагая, что ряд равномерно сходится в интервале ,. Равномерная сходимость ряда необходима для того, чтобы ряд можно было почленно интегрировать. Предварительно заметим, что система функций

 (3)

обладает свойством ортогональности в интервале . То есть интеграл по этому интервалу от произведения любых двух разных функций равен нулю. Именно:

 (4)

 (5)

 (6)

 (7)

 (8)

В формулах (4) и (5) - -символ Кронекера, определяемый равенством . Отметим свойство -символа Кронекера снимать суммирование: , которое в дальнейшем будет использоваться.

Докажем, например, формулу (4). Пусть . Используя известную формулу тригонометрии

 (9)

и учитывая, что  и  целые числа, имеем:

 (10)

Пусть теперь . Воспользовавшись формулой

, (11)

находим:

 (12)

Также легко проверяются формулы (5) – (9).

Чтобы найти коэффициент , проинтегрируем обе части равенства (2) по интервалу :

 (13)

,

откуда следует

. (14)

При выводе были использованы формулы (7) и (8).

Для вычисления коэффициентов , обе части равенства (2) умножим на   и проинтегрируем по интервалу . Используя формулы(4), (6) и (7), получаем:

 (15)

.

Таким образом, после переобозначения ,

. (16)

Аналогично, умножая обе части равенства (2) на , интегрируя по интервалу  и используя формулы (5), (6) и (8), находим:

. (17)

Определение 2. Тригонометрический ряд (2) с коэффициентами, определяемыми формулами (14), (16) и (17), называется рядом Фурье, а коэффициенты, определенные этими формулами, коэффициентами Фурье.

Замечание. Нетрудно убедиться, что если  периодическая с периодом   функция и  произвольное число, то

(проверить самостоятельно используя свойство аддитивности определенного интеграла). Отсюда следует, что при вычислении коэффициентов Фурье интегрировать можно по любому отрезку длины .

8.2 Условия разложимости функции в ряд Фурье

Пусть теперь  произвольная периодическая с периодом   функция. По формулам (14), (16) и (17) для нее могут быть вычислены коэффициенты Фурье и составлен ряд Фурье. Возникает вопрос, каким условиям должна удовлетворять функция , чтобы формально составленный ряд Фурье имел бы эту функцию своей суммой? Ответ на этот вопрос дает теорема Дирихле. Предварительно дадим определения:

Определение 3. Функция  называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция монотонна (т.е. только возрастает или только убывает или постоянна).


Пример кусочно-монотонной функции приведен на Рис. 1.

Определение 4. Функция  называется удовлетворяющей условиям Дирихле на отрезке , если она на этом отрезке кусочно-монотонна и имеет на нем не более чем конечное число точек разрыва

первого рода.

Теорема (Дирихле) Если периодическая с периодом  функция  ограничена в интервале   и удовлетворяет на нем условиям Дирихле, то формально составленный для нее ряд Фурье сходится на всей числовой оси, его сумма  совпадает со значениями функции   в точках ее непрерывности и равна среднему арифметическому пределов слева и справа в каждой точке разрыва, то есть

, (18)

если  точка разрыва первого рода. На концах отрезка ряд Фурье сходится и его сумма равна

. (19)

Эту теорему мы примем без доказательства.

Пример 1. Периодическую с периодом  функцию  разложить в ряд Фурье.


Решение График функции представлен на Рис. 2. Функция, очевидно, кусочно-монотонна и ограничена в интервале  и,

следовательно, удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье, сходящийся к ней в точках ее непрерывности. Вычислим коэффициенты Фурье. Находим:

,

,

при этом было учтено, что . Полагая  , получаем искомый ряд Фурье:

 . ▲

Лекция 9.

9.1 Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Функция  называется четной, если  и называется нечетной, если . Произведение двух функций одной четности, очевидно, четная функция, а произведение двух функций разной четности – нечетная. Покажем, что интеграл в симметричных пределах от нечетной функции равен нулю, т.е.

, (20)

а от четной может быть представлен в виде

, (21)

В самом деле, в силу свойства аддитивности определенного интеграла

. (22)

Делая в первом интеграле замену переменной

и меняя местами верхний и нижний пределы, находим:

.

Имея эти результаты в виду, обратимся к формулам, определяющим коэффициенты Фурье.

Если функция  четная, то , в силу четности  и нечетности , функция  четная, а нечетная и поэтому

 , (23)

, (24)

. (25)

Ряд Фурье для четной функции, таким образом, принимает вид

. (26)

Говорят также, что четная функция разлагается в ряд Фурье по косинусам.

Если функция  нечетная, то функция  нечетная, а четная и, следовательно,

 , (27)

, (28)

. (29)

Ряд Фурье для нечетной функции принимает вид:

, (30)

то есть, нечетная функция разлагается в ряд Фурье по синусам.

Пример 2. Периодическую с периодом  функцию , определенную в интервале   уравнением , разложить в ряд Фурье.


Решение. График функции изображен на Рис. 3. Функция четная и разлагается в ряд Фурье по косинусам. Поэтому достаточно вычислить коэффициенты  и  по формулам (23) и (24). Находим:

.

Полагая в последней формуле  и подставляя в ряд (26), окончательно получаем:

.▲

9.2 Разложение в ряды Фурье функций с периодом

Пусть  периодическая функция с периодом , то есть . Делая замену переменной

, (31)

введем функцию переменной положив:

. (32)

Покажем, что  функция периодическая с периодом . Действительно,

. (33)

Предполагая, что функция  удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, запишем для нее ряд Фурье

, (34)

где, в соответствии с формулами. (14), (16) и (17)

, (35)

, (36)

. (37)

Возвращаясь к переменной , полагая , и производя замену переменной в интегралах в формулах (35) – (37):

, (38)

получим искомый ряд Фурье

 (39)

для периодической с периодом  функции, , с коэффициентами, определяемыми формулами:

, (40)

, (41)

. (42)

Математика примеры решения задач курсовой работы