Лекции и примеры решения задач по математике

Ряды Фурье, ряды Тейлора и Маклорена
Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

Лекция 7.

 О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды

На практике, коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена часто находят используя формулы (26) - (32) и применяя различные приемы, такие как: представление заданной функции в виде линейной комбинации основных элементарных функций, замена переменной, почленное дифференцирование и интегрирование рядов, метод неопределенных коэффициентов и др.

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию

.

Решение. Представим функцию  в виде суммы элементарных дробей

Сравнивая многочлены в числителях, находим   . Переписывая дробь в виде

и используя ряды (31) и (32) с соответствующими заменами переменной, получаем:

.

Пример 2. Функцию  разложить в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение. Преобразуем функцию: . Обозначим , тогда  и

Применяя формулу (28), и проводя обратную замену, получаем искомое разложение:

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся интегральным представлением функции и формулой (31)

.

Степенной ряд сходится в интервале  и в этом интервале его можно почленно интегрировать:

,

так, что окончательно:

.

Область сходимости ряда - интервал .

7.2 Применение рядов для приближенных вычислений

Если некоторая функция  разложена в ряд Тейлора в окрестности точки  и  — радиус сходимости этого ряда, то для всякого  имеет место равенство

.

Поскольку  при , то при больших  значения многочлена  отличаются от значений функции  не более чем на величину , которая, в принципе, может быть оценена. На этом факте и основано применение рядов для приближенных вычислений.

7.3  Приближенные вычисления значений функций

Пример. 1 Вычислить число  с погрешностью .

Решение. Воспользуемся разложением функции  в ряд Маклорена,

,

из которого при  получаем:

.

Чтобы определить сколько членов следует взять для достижения требуемой точности, оценим остаточный член  , где . При  получаем:

,

откуда находим, что уже при . Таким образом,

.

7.4 Приближенные вычисления интегралов

Пример 2. Вычислить с погрешностью  определенный интеграл

.

Решение. Используя разложение в ряд Маклорена функции , получаем ряд:

.

Интегрируя его почленно на отрезке , находим

 

где учтено, что .

Результат представляет собой разность двух сходящихся знакочередующихся рядов. Чтобы обеспечить требуемую точность, каждый из этих рядов должен быть вычислен с погрешностью не более . Согласно теореме об оценке остатка знакочередующегося ряда, остаток не превышает по величине модуля первого из отбрасываемых членов. Так как , но  и , а , то с требуемой точностью, получаем

.

7.5 Решение дифференциальных уравнений

Пусть задано дифференциальное уравнение второго порядка

 (33)

и требуется найти его частное решение , удовлетворяющее начальным условиям

. (34)

Если функции  представляются степенными рядами вида

, (35)

сходящимися к этим функциям в некоторой окрестности точки , то существует единственное решение задачи Коши, представимое в виде степенного ряда

, (36)

сходящегося в некоторой окрестности точки .

Находя из (36) с помощью дифференцирования степенные ряды для  и , подставляя в уравнение вместо  их разложения и производя необходимые арифметические действия над степенными рядами, вместо уравнения (33) получим равенство двух степенных рядов. Из этого равенства можно последовательно найти коэффициенты ряда (36) и, тем самым получить решение задачи Коши.

Математика примеры решения задач курсовой работы