Лекции и примеры решения задач по математике

Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

Лекция 6.

Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть  сумма степенного ряда

. (17)

Выразим его коэффициенты через значения функции  и ее производных в точке. Последовательно дифференцируя, получаем:

, , , ,

так, что

, , , , , , ,

и ряд (10) принимает вид

. (18)

Пусть теперь  некоторая заданная функция. Если эта функция дифференцируема бесконечное число раз, то для нее могут быть вычислены по приведенным выше формулам  коэффициенты  и составлен ряд вида

. (19)

Этот формально составленный ряд может а) расходиться, б) сходиться, но не к функции , и, наконец, самый важный для приложений случай, в) сходиться к функции . Установить характер сходимости ряда можно с помощью величины

 (20)

называемой м остаточным членом ряда. Доказано, что если для некоторого   выполняется условие , при  и всех  таких, что , то ряд (19) сходится к функции  на множестве . Для этого случая из (20) получаем

, (21)

при этом остаточный член может быть представлен в виде

 (22)

где  некоторая точка, заключенная между   и , и называется . м остаточным членом ряда в форме Лагранжа. Ряд (21) называется рядом Тейлора функции . Отметим, что точку  в (22) часто удобнее определять формулой , где  - параметр, заключенный в пределах .

В частном случае, когда , ряд (21) принимает вид

 (23)

и называется рядом Маклорена. Остаточный член для ряда Маклорена имеет вид:

. (24)

 Разложение в ряд Маклорена функций , , ,

Для дальнейшего будет необходима лемма:

Лемма. При любом конечном  

 (25)

Доказательство. ►Пусть, для определенности, . Рассмотрим ряд с общим членом . Этот ряд сходится по признаку Даламбера:

и, следовательно, для него выполняется необходимый признак сходимости, т.е.

что и требовалось доказать. ◄

1). Разложение в ряд Маклорена функции .

Значения функции и ее производных в точке  равны:

,

,

, ,

....................................................................

,

так что ряд Маклорена принимает вид

.

Радиус сходимости этого ряда

,

то есть ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. Покажем, что остаточный член ряда  стремится к нулю при . Это будет означать, что ряд имеет суммой . Действительно,

 при 

в силу леммы. Поэтому

. (26)

2). Разложение в ряд Маклорена функции .

Находим:

..............................................................................

и получаем ряд

 

в котором члены с четными  отсутствуют. По этой причине удобно положить , . Учитывая также, что

перепишем ряд в виде

.

Покажем, что остаточный член стремится к нулю  при . В самом деле,

в силу леммы. Таким образом,

. (27)

Убедитесь, что ряд сходится на всей числовой оси.

3). Разложение в ряд Маклорена функции .

Разложение этой функции в ряд Маклорена проводится аналогично предыдущему и ряд имеет вид

. (28)

4). Разложение в ряд Маклорена функции .

Разложение логарифмической функции в ряд Маклорена проводится по общему правилу, без каких-либо особенностей, и ряд имеет вид

 (29)

Радиус сходимости этого ряда равен

.

6.3 Разложение в ряд Маклорена функции  (биномиальный ряд)

Вычисляя значения функции и ее производных в точке  находим:

................................................................................................................

и получаем ряд

 (30)

где обозначено

.

Если  - целое положительное число, биномиальный ряд вырождается в конечную сумму:

: ,

: ,

: , и т.д.

Если  не целое положительное число, то число членов в ряде бесконечно. Найдем его интервал сходимости. Воспользовавшись признаком Даламбера, получаем:

откуда и следует, что ряд абсолютно сходится в интервале . Сходимость на концах интервала сходимости исследуется индивидуально для каждого конца и зависит от значения числа .

Приведем важные частные случаи формулы (30).

 (31)

. (32)

Математика примеры решения задач курсовой работы