Лекции и примеры решения задач по математике

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Ряды Фурье, ряды Тейлора и Маклорена
Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

Лекция 5.

Степенные ряды

Определение 3. Степенным рядом называется функциональный ряд, вида

. (10)

Числа  называются коэффициентами ряда.

Вопрос о сходимости степенного ряда решается теоремой Абеля.

Теорема 5. 1). Если степенной ряд (10) сходится при некотором значении   не равном нулю, то он абсолютно сходится при любом значении , таком, что .

2). Если ряд (10) расходится при некотором значении , то он расходится и при всяком  для которого .

Доказательство. ►1). Так как  точка сходимости, то числовой ряд

 (11)

сходится. Следовательно, его общий член  при . Но тогда существует такое положительное число , что

 (12)

Перепишем ряд (11) в виде

. (13)

В силу неравенств (12), члены этого ряда по абсолютной величине меньше членов ряда

представляющего собой геометрическую прогрессию со знаменателем . Так как прогрессия сходится когда ее знаменатель по модулю меньше единицы, то отсюда следует, что при , ряд (13), (а следовательно, и ряд (11)) сходится абсолютно, что и требовалось доказать.

2). Доказательство второй части теоремы очевидно. Если ряд расходится в точке , то он должен расходиться и при любом   таком, что , так как в противном случае, в силу первой части теоремы, точка  была бы точкой сходимости, что противоречит условию. ◄

Следствие. Областью сходимости степенного ряда (11) является интервал, где , так называемый, радиус сходимости, с центром в начале координат.

Доказательство. ►Действительно, если  точка сходимости, то все точки интервала  являются точками абсолютной сходимости ряда.. Если  точка расходимости, то все точки интервалов  тоже являются точками расходимости. Но тогда, очевидно, должно существовать такое положительное число  , что при  ряд абсолютно сходится, а при  расходится. ◄

Число , и есть радиус сходимости степенного ряда. Его можно найти, применив к ряду, составленному из абсолютных величин членов ряда (11), например, признак Даламбера. Согласно этому признаку, ряд будет сходиться, если

 (14)


Вычисляя предел, находим

То есть степенной ряд (11) будет сходиться абсолютно при всех , таких, что , где , так что радиус сходимости ряда равен

. (15)

Вопрос о сходимости ряда на концах интервала сходимости решается индивидуально для каждого из концов. С этой целью следует подставить в ряд значения  и  и исследовать сходимость получившихся числовых рядов.

Отметим, что в интервале абсолютной сходимости степенной ряд сходится равномерно. Это следует из теоремы:

Теорема 6. Если степенной ряд

 (*)

сходится в интервале и  произвольное число такое, что , то в интервале   ряд сходится равномерно.

Доказательство. ► Так как степенной ряд сходится абсолютно в любой точке интервала сходимости, то в точке  знакоположительный ряд

 (**)

сходится. Если  - произвольная точка интервала , то  и ряд (**) является мажорантой для ряда (*) и, следовательно, последний сходится в интервале  равномерно. ◄

Следствие. В области абсолютной сходимости

а) сумма степенного ряда является непрерывной функцией переменной ;

б) степенной ряд можно почленно дифференцировать;

в) степенной ряд можно почленно интегрировать.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Используя формулу (15), находим радиус сходимости

,

то есть ряд абсолютно сходится в интервале .Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости: Полагая , получаем расходящийся гармонический ряд .Полагая , получаем знакочередующийся ряд . Этот ряд сходится условно, так как он сходится по признаку Лейбница как знакочередующийся ряд, но ряд составленный из модулей его членов расходится. Итак, рассматриваемый ряд абсолютно сходится в интервале  и условно сходится в точке .

5.2  Ряды по степеням разности

Часто приходится рассматривать степенные ряды по степеням разности . Вида

 (16)

Такой ряд заменой переменной  сводится к степенному ряду типа (10). И если область абсолютной сходимости последнего , то областью сходимости ряда (16), очевидно, будет интервал  с центром в точке . Сходимость на концах интервала исследуется индивидуально для каждого конца.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применяя признак Даламбера к ряду составленному из модулей членов данного ряда, находим:

откуда следует, что ряд абсолютно сходится в интервале  . Исследуем сходимость на концах интервала. Пусть . Общий член ряда равен . Используя формулу Стирлинга , убеждаемся, что при больших   и не стремится к нулю при , то есть необходимый признак сходимости не выполняется и, следовательно, ряд расходится. Аналогично убеждаемся, что по этой же причине ряд расходится и на втором конце интервала. Таким образом, ряд абсолютно сходится в интервале  и расходится вне него.

Математика примеры решения задач курсовой работы