Лекции и примеры решения задач по математике

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Ряды Фурье, ряды Тейлора и Маклорена
Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

Лекция 4.

Функциональные ряды

Понятие функционального ряда. Область сходимости

Определение 1. Ряд, вида

, (1)

 члены которого являются функциями переменного , называется функциональным рядом.

Если ряд (1) сходится при некотором , то точка  называется точкой сходимости ряда. Множество всех точек сходимости ряда образует область сходимости ряда. В общем случае область сходимости может быть весьма сложной и состоять из совокупности интервалов. Определение области сходимости можно проводить применяя какой либо признак сходимости знакоположительных рядов, например, признак Даламбера или радикальный признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов ряда (1). В интервалах сходимости функциональный ряд (1) сходится абсолютно. Чтобы исследовать сходимость на концах интервалов сходимости, следует подставить в ряд вместо  значения концевых точек интервалов и исследовать сходимость получившихся числовых рядов.

Пример 1. Найти область сходимости ряда .

Решение. При любом фиксированном  получаем обобщенный гармонический ряд вида . Этот ряд сходится, если . То есть, областью сходимости ряда является интервал . В точке  ряд принимает вид: . Это расходящийся гармонический ряд. Итак, окончательно, областью сходимости заданного ряда служит интервал .

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Прежде всего, заметим, что ряд расходится, если , так как в этом случае , то есть не выполняется необходимый признак сходимости. Пусть . Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов данного ряда, находим, что этот ряд сходится, если

то есть при . Таким образом, ряд абсолютно сходится в интервалах  и , и расходится вне этих интервалов.

4.2 Равномерная (правильная) сходимость функционального ряда

Пусть  сумма ряда (1).

Определение 2. Функциональный ряд  называется равномерно (правильно) сходящимся в некотором интервале , если для любого  найдется такой номер , что для всех   и всех  выполняется неравенство

 (2)

Можно сказать, что равномерная сходимость означает, что ряд сходится к своей сумме  одинаково быстро при любом . Особое значение равномерно сходящиеся ряды имеют в связи с тем, что на них переносятся многие свойства конечных сумм. Это следует из теорем:

Теорема 1. Если члены равномерно сходящегося ряда  являются непрерывными в интервале  функциями переменного , то его сумма   также является непрерывной в этом интервале функцией.

Доказательство. ►Чтобы доказать непрерывность функции  в точке , нужно показать, что найдется такая точка , что разность  будет меньше любого наперед заданного числа . Исходя из тождества

,

где  я частичная сумма ряда, составим неравенство

. (3)

Пусть  произвольное сколь угодно малое число. Выберем  настолько близким к  чтобы одновременно выполнялись неравенства

.

Справедливость первого и второго неравенств вытекает из равномерной сходимости ряда. Справедливость третьего следует из непрерывности конечных сумм непрерывных функций. Но тогда из (3) немедленно следует

, (4)

что и требовалось доказать. ◄

Теорема 2. Если ряд  сходится к  равномерно и его члены интегрируемы в интервале  то сумма ряда  также интегрируема в интервале , причем

. (5)

Доказательство. ►В силу равномерной сходимости ряда для любого  найдется такой номер , что для всех  имеет место неравенство (2) при любом . Но тогда

, (6)

а это означает, что последовательность частичных сумм  ряда  стремится к числу , что и требовалось доказать. ◄

Теорема 3. Пусть ряд  сходится к  в интервале  и его члены непрерывно дифференцируемы в этом интервале. Тогда, если ряд

, (7)

 составленный из производных членов исходного ряда, сходится равномерно в интервале , то сумма ряда  дифференцируема, причем в каждой точке  справедливо равенство

. (8)

Доказательство. ►Обозначим сумму ряда (7) . В силу предыдущей теоремы имеем равенство

или

.

Дифференцирование средней и правой частей этого равенства дает , ч.т.д. ◄

На практике, для установления равномерной сходимости функционального ряда, удобно применять признак Вейерштрасса:

Теорема 4 (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) Функциональный ряд  сходится равномерно в интервале , если существует такой сходящийся знакоположительный ряд , что во всех точках интервала  выполняются неравенства .

Доказательство. ►Согласно признаку сравнения ряд  сходится в интервале   абсолютно. Пусть  его сумма. Тогда для -го остатка ряда можем записать

. (9)

Так как числовой ряд сходится, то для любого  можно найти такой номер , что . Но тогда, в силу (9), неравенство  будет иметь место при любом  из интервала , что и доказывает равномерную сходимость ряда .◄

Пример 1. Показать, что ряд  равномерно сходится на всей числовой оси.

Решение. Преобразуем общий член ряда воспользовавшись неравенством , которое выполняется для любых действительных чисел , :

,

откуда, при , следует, что

.

Так как неравенство выполняется для всех , а ряд  сходится, то исходный ряд равномерно сходится на всей числовой оси.

Пример 2. Найти сумму ряда . Указание: Воспользоваться формулой   (см. формулу (32))

Решение. Пусть  сумма ряда, то есть

.

 Так как в области сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать, то

Согласно формуле (32), , так что:

.

Но тогда

.

Математика примеры решения задач курсовой работы