Лекции и примеры решения задач по математике

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Ряды Фурье, ряды Тейлора и Маклорена
Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

Лекция 3.

Знакопеременные ряды

Определение. Числовой ряд, среди членов которого имеются как положительные, так и отрицательные числа, называется знакопеременным рядом

Пример:

.

3.2 Знакочередующиеся ряды

Среди знакопеременных рядов особое значение имеют знакочередующиеся ряды

Определение. Числовой ряд, в котором за каждым положительным членом следует отрицательный, а за каждым отрицательным - положительный, называется знакочередующимся рядом.

Пример:

.

В дальнейшем условимся записывать знакочередующийся ряд в виде

, (34)

считая числа  положительными, но подчеркнем, что там, где стоит знак минус, членами ряда являются именно отрицательные числа .

Для знакочередующихся рядов существует следующий достаточный признак сходимости.

Признак Лейбница

Теорема. Пусть члены знакочередующегося ряда 

по абсолютной величине убывают т. е.

, (35)

и его общий член стремится к нулю при , т. е.

, (36)

то этот ряд сходится, его сумма положительна и не превышает по величине первого члена ряда.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

Сгруппируем ее члены попарно следующим образом

.

В силу неравенств (35), все слагаемые в скобках положительны, так что  и возрастает с ростом . Сгруппируем теперь члены в   по-другому:

Сумма в квадратных скобках, очевидно, положительна, и поэтому .

Итак, мы показали, что последовательность четных сумм возрастает с ростом , оставаясь ограниченной. Следовательно, она имеет предел

,

и так как ,

.

Рассмотрим частичную сумму нечетного числа членов ряда, и так как

,

находим:

,

так как по условию  (а значит и ). Поскольку, последовательности четных и нечетных частичных сумм имеют один и тот же предел , то и, причем, . Теорема доказана. ◄

Замечание. Так как добавление или отбрасывание конечного числа первых членов не изменяет сходимости ряда, то для сходимости знакочередующегося ряда достаточно чтобы неравенства (35) имели место начиная с некоторого . Убывание членов ряда по абсолютной величине начиная с первого члена ряда необходимо для того чтобы можно было сделать заключение о том, что сумма ряда положительна и не превышает по величине первого члена ряда.

Пример 12. Доказать сходимость ряда .

Решение. Действительно, члены данного ряда по абсолютной величине убывают

,

и его общий член стремится к нулю при ,

,

то есть ряд удовлетворяет признаку Лейбница и, следовательно, сходится.

Перейдем к рассмотрению произвольных знакопеременных рядов. Будем записывать такой ряд в виде

где числа  могут быть как положительными, так и отрицательными.

3.3  Произвольные знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Для произвольных знакопеременных рядов существует следующий достаточный признак сходимости.

Теорема. Если для знакопеременного ряда 

 (37)

сходится ряд

, (38)

составленный из абсолютных величин его членов, то данный знакопеременный ряд тоже сходится.

Доказательство. Пусть

 -е частичные суммы рядов (37) и (38). Обозначим через  сумму всех положительных, а через   - всех отрицательных слагаемых среди  первых членов в ряде(37). Тогда, очевидно:

.

Так как по условию теоремы ряд (38) сходится, то есть существует и конечен предел

,

то имеют конечные пределы и  и т. е.

.

и при этом

.

Но тогда имеет конечный предел и :

,

откуда и следует сходимость ряда (37). Теорема доказана. ◄

Рассмотренный признак сходимости является достаточным, но не необходимым. То есть существуют сходящиеся знакопеременные ряды, для которых этот признак не выполняется. В качестве примера приведем ряд

,

который сходится по признаку Лейбница, поскольку

 и ,

но ряд, составленный из модулей его членов, является расходящимся гармоническим рядом.

Определение Знакопеременный ряд

называется абсолютно сходящимся рядом, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, и называется условно сходящимся, если он сходится как знакопеременный ряд, но ряд составленный их модулей его членов расходится.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды выделяются тем, что на них переносятся все свойства конечных сумм. В частности имеет место переместительное свойство:

сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется при любой перестановке его членов.

В случае условно сходящихся рядов переставлять члены нельзя (речь идет о перестановке бесконечного числа членов) – это может не только изменить сумму ряда но и сделать ряд расходящимся.

Пример. Обратимся вновь к ряду , сходящемуся, как было показано выше, условно. Пусть - его сумма. Перегруппируем члены ряда следующим образом:

и выпишем частичные суммы исходного и этого ряда:

и вообще, можно показать, что , и так как , и, поскольку   то предел последовательности частичных сумм  существует и . Таким образом, проведенная перегруппировка членов условно сходящегося ряда привела к изменению его суммы.

Пример 13.  Исследовать сходимость знакопеременного ряда .

Решение. К ряду, составленному из модулей членов данного ряда, применим признак сравнения:

Так как , и ряд с общим членом  сходится, то исследуемый знакопеременный ряд сходится абсолютно.

3.4 Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся числовой ряд

.

Его сумма

и при достаточно больших  можно приближенно полагать

,

причем точность такой замены будет повышаться с ростом . Для оценки точности введем понятие остатка ряда.

Определение. Разность между суммой ряда  и его -ой частичной суммой называется n -ым остатком ряда:

.

Очевидно, для сходящегося ряда

.

Для оценки остатка ряда существуют следующие теоремы (которые мы приводим без доказательства)

Теорема 1. (об оценке остатка знакоположительного ряда) Если все члены сходящегося знакоположительного ряда

не превосходят соответствующих членов другого сходящегося знакоположительного ряда

,

то  -й остаток первого ряда не превосходит  -го остатка второго ряда.

Теорема 2. (об оценке остатка знакопеременного ряда) Пусть знакопеременный ряд

абсолютно сходится. Тогда его  -й остаток по абсолютной величине не превосходит  -го остатка ряда, составленного из абсолютных величин  его членов.

Теорема 3. (об оценке остатка знакочередующегося ряда) Абсолютная величина  -го остатка знакочередующегося ряда, сходящегося по признаку Лейбница, не превышает модуля первого из отброшенных членов, т. е. .

Пример 13. Вычислить сумму ряда с погрешностью не более 0.001

Решение. Выпишем несколько первых членов ряда

.

Так как это знакочередующийся ряд, то погрешность, возникающая при обрывании ряда, не превышает абсолютной величины первого из отбрасываемых членов. Проводя оценки

,

видим, что для достижения требуемой точности достаточно учесть пять первых членов. Таким образом, с погрешностью не более 0.001:

.

Математика примеры решения задач курсовой работы