Лекции и примеры решения задач по математике

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Ряды Фурье, ряды Тейлора и Маклорена
Методика решения задач контрольной работы
РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложить в ряд Фурье функцию
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Числовые ряды
Геометрическая прогрессия
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Признак Даламбера
Знакопеременные ряды
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
О некоторых приемах разложения функций в степенные ряды
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
разложить в ряд Фурье.
разложить в ряд Фурье по синусам.
найти косинус и синус преобразования Фурье.

РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ  и 

Рядом Фурье периодической функции  с периодом , определенной на сегменте , называется ряд

 , (1)

где

  (2)

 

  (3)

Если ряд (1) сходится, то его сумма  есть периодическая функция с периодом , т.е. .

Теорема Дирихле. Пусть функция  на сегменте  имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента  и сумма этого ряда  вычисляется:

1)  во всех точках неразрывности , лежащих внутри сегмента ;

2) , где - точка разрыва 1-го рода функции ;

3)  на концах промежутка, т.е. при .

В случае, когда  - четная функция, ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

  (4)

где

  (5)

В случае, когда  - нечетная функция, ее ряд содержит только синусы, т.е.

   (6)

где 

  (7)

Часто приходится разлагать в тригонометрический ряд функции периода, отличного от . В этом случае, если  - периодическая функция с периодом , для которой выполняются на сегменте   условия Дирихле, то указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье:

  (8) где

  (9)

  (10)

В случае, когда  - четная функция, как (4) – (5), ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

  (11) где

 . (12)

В случае, когда - нечетная функция, ее ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

  (13) где

  (14)

При разложении в ряд Фурье целесообразно придерживаться следующей схемы. Вначале проверяем, что данная функция удовлетворяет условиям Дирихле; затем вычисляем коэффициенты  и  по соответствующим формулам; подставляя их в ряд, получаем искомое разложение; наконец, основываясь на теореме Дирихле, определяем, при каких   полученный ряд сходится к данной функции. Рассмотрим примеры разложения в ряд Фурье периодических функций.

1. Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале   формулой:  (рис. 1).

 


 y

 -4π -3p  -2p -p 0 p 2p 3p  4π x

 Рис. 1

Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя формулу (7), найдем коэффициенты Фурье :

,

 0 

т.к. .

Следовательно, ряд Фурье функции  будет иметь вид

.

Так как функция  удовлетворяет условиям Дирихле, то в любой точке непрерывности  сумма ряда равна значению функции. В точках  и  сумма ряда равна нулю. На рис. 2 показаны графики: функции  и частичных сумм ряда, содержащие 1, 2 и 3 члена. Из рисунка видно, как график частичных сумм ряда приближается к графику функции  при увеличении членов суммы.

 y 

 

 

 Рис. 2

Математика примеры решения задач курсовой работы